材料力学 第6章 扭转

6-1 扭转杆件的内力

扭转：在一对大小相等、转向相反的外力偶矩作用下，杆的各横截面发生相对转动的变形形式 外扭矩（$M_x$）: 使杆产生扭转变形的外力偶矩

扭转角（$\theta$） 两个横截面的相对转角

切应变（$\gamma$） 直角的改变量

扭矩的正负号规定

正的扭矩背离截面；负的扭矩指向截面

画图的时候$T$要用双箭头

扭矩图： 表示扭矩和截面位置之间关系的图线

6-2 圆柱扭转横截面上的切应力

静力平衡方程

\[\sum M_x = 0,\qquad \iint_A \rho \tau_{x\phi}\,\mathrm{d}A - T = 0\]

几何方程

平面假设： 圆轴扭转变形后，横截面仍保持为平面，但其形状、大小以及两横截面间距离均不改变

\[\gamma_{x\phi} \approx \tan \gamma_{x\phi} = \frac{\overset{\frown}{ff'}}{\mathrm{d}x} = \rho \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x}\]

物理方程

\[\tau_{x\phi} = G\gamma_{x\phi} = G\rho\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x}\]

式中,$\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x}$是相距为单位长度的两横截面相对扭过的角度，称为单位长度扭转角

横截面上的切应力公式

联立以上三个方程得

\[\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x} = \frac{T}{G I_p}\]

其中，$I_p = \iint_A \rho^2 \,\mathrm{d}A$为截面的极惯性矩，$G I_p$为抗扭刚度

再将其代回可得圆轴扭转横截面切应力公式

\[\tau_{x\phi} = \frac{T}{I_p}\rho\]

所以最大切应力在横截面外圆周的各个点上

\[\tau_{x\phi,\max} = \frac{T}{I_p}\rho_{\max} = \frac{T}{I_p}R = \frac{T}{W_t}\]

其中，$W_t = \frac{I_p}{R}$称为抗扭截面系数

对于圆截面，$W_t = \frac{\pi}{16}D^3\left(1-\alpha^4\right)$，其中，$\alpha = \frac{d}{D}$

6-3 圆柱扭转破坏模式的分析

若材料抗拉压能力差，构件沿$45^\circ$斜截面发生破坏 （脆性材料）

若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏 （塑形材料）

6-4 圆柱扭转变形与变形能

圆柱扭转变形公式

\[\mathrm{d}\phi = \frac{T}{G I_p}\,\mathrm{d}x\] \[\phi = \int_0^l \mathrm{d}\phi = \int_0^l \frac{T}{G I_p}\,\mathrm{d}x\]

如果圆轴为材料均匀的等直圆杆，并且各个截面扭矩相等

\[\phi = \frac{Tl}{G I_p}\]

圆柱扭转的变形能

\[e = \frac{1}{2}\tau_{x\phi}\gamma_{x\phi} = \frac{1}{2}\cdot \frac{\tau_{x\phi}^{2}}{G}\] \[\mathrm{d}E_\gamma = \left( \iint_A e\,\mathrm{d}A \right)\mathrm{d}x = \left( \iint_A \frac{\tau_{x\phi}^{2}}{2G}\,\mathrm{d}A \right)\mathrm{d}x\]

代入切应力公式得

\[\mathrm{d}E_\gamma = \frac{T^2}{2G I_p}\,\mathrm{d}x\]

整个圆轴的变形能为

\[E_\gamma = \int_0^l \mathrm{d}E_\gamma = \int_0^l \frac{T^2}{2G I_p}\,\mathrm{d}x\]

若圆轴材料及各个截面尺寸与扭矩均相等

\[E_\gamma = \frac{T^2 l}{2G I_p}\]