材料力学 第9章 能量原理

9-1 莫尔积分

9.1.1 莫尔积分的公式

\[1\cdot\Delta = \int_{0}^{l} \left( \frac{\overline{F}_{N}F_{N}}{EA} + \frac{k\overline{F}_{s}F_{s}}{GA} + \frac{\overline{T}T}{GI_{p}} + \frac{\overline{M}_{z}M_{z}}{EI} \right) \,\mathrm{d}x\]

9.1.2 莫尔积分的图乘法

推导过程

以弯矩为例，单位载荷的弯矩方程为直线或分段直线

\[\overline{M}_z(x)=kx+b\] \[\int_0^l M_z\overline{M}_z(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^l M_z(kx+b)\,\mathrm{d}x = k\int_0^l xM_z\,\mathrm{d}x + b\int_0^l M_z\,\mathrm{d}x = kx_c\Omega_M+b\Omega_M = \Omega_M\overline{M_c}\]

其中$\Omega_M$为图形的面积，$x_c$为图形形心的横坐标,$\overline{M_c}$为$x_c$处单位载荷作用下的弯矩值

图乘法公式

莫尔积分的图乘法公式为

\[\Delta = \frac{\Omega_M \overline{M}_c}{EI} + \frac{\Omega_{F_N}\overline{F}_{Nc}}{EA} + \frac{\Omega_T\overline{T}_c}{GI_p} + \frac{k\Omega_{F_s}\overline{F}_{Sc}}{GA}\]

注意事项

1. 多个载荷共同作用时，要分别画图进行计算
2. 单位载荷内力图为折线时分段进行计算
3. 弯矩值位于基线同侧时结果为正，反之为负（弯矩画在受压一侧）

常见图形的面积和形心

三角形

二次抛物线

三次抛物线

9-2 冲击

自由落体冲击

\[k_d = \frac{\Delta_d}{\Delta_{\mathrm{st}}} = 1+\sqrt{1+\frac{2h}{\Delta_{\mathrm{st}}}}\] \[F_d=k_dQ\] \[\sigma_d=k_d\sigma_{\mathrm{st}}\]

水平冲击

\[k_d=V\sqrt{\frac{1}{g\Delta_{\mathrm{st}}}}\] \[\Delta_d=k_d\Delta_{\mathrm{st}}\] \[F_d=k_dmg\] \[\sigma_d=k_d\sigma_{\mathrm{st}}\]