材料力学 第5章 轴向拉压

5-1 轴向拉压杆的内力

轴向拉压： 载荷的作用线与杆的轴线重合，使杆产生沿轴线的伸长或压缩变形 内力的符号： 拉力为正值，背离截面；压力为负值，指向截面

5-2 轴向拉压杆的应力

平面假设

受轴向力作用的杆件，其横截面变形前是平面，假设变形后仍为平面，只是两截面的距离发生了改变

横截面上应力公式

根据平面假设 ，线应变在横截面上均匀分布，正应力也在截面上均匀分布

\[\sigma_x = \frac{F_N}{A}\]

5-3 圣维南原理 应力集中

圣维南原理

圣维南原理：外力作用方式不同，会对杆端附近的应力分布产生影响，而对远离杆端位置应力的影响很小，影响范围约为杆件一个横向尺寸的大小

应力集中

应力集中：截面尺寸改变越急剧，应力集中就越严重

理论应力集中因数：最大应力与平均应力的比值，反映应力集中的程度

\[k=\frac{\sigma_{x_{max}}}{\sigma_{x_m}}\]

5-4 轴向拉压杆的变形 变形能

轴向变形

轴向应变

\[\varepsilon = \frac{\Delta l}{l} = \frac{\sigma}{E} = \frac{F_N}{EA}\]

轴向变形

\[\operatorname{d}(\Delta l)=\frac{F_N \operatorname{d}\! x}{EA}\]

各截面面积和轴力均相等时

\[\Delta l = \frac{F_N l}{E A}\]

其中，$EA$称为杆的抗拉刚度

横向变形

\[\varepsilon_y = \varepsilon_z = -\nu \varepsilon_x = -\frac{\nu}{E} \sigma_x\]

变形能

单向应力状态的应变能密度为

\[e = \frac{1}{2}\sigma_x \varepsilon_x = \frac{\sigma_x^2}{2E}\]

每一微段的变形能为

\[\mathrm{d}e = eA\,\mathrm{d}x = \frac{\sigma_x^2}{2E}A\,\mathrm{d}x = \frac{F_N^2}{2EA}\,\mathrm{d}x\]

整个杆件的变形能为

\[E_\varepsilon = \int_0^l \mathrm{d}e = \int_0^l \frac{F_N^2}{2EA}\,\mathrm{d}x\]

对于等直杆件

\[E_\varepsilon = \frac{F_N^2 l}{2EA}\]

等直杆： 横截面面积沿杆长保持不变的直杆

5-5 轴向拉压超静定问题

静定： 结构或杆件的未知力个数等于有效精力方程的个数

超静定： 结构或杆件的未知力个数等于有效精力方程的个数

多余约束： 在超静定系统中多余维持结构几何不变性所需要的杆或支座

多余约束反力： 多余约束对应的反力

超静定次数（静不定次数）：未知力个数与平衡方程个数的差值

缺少的方程通过变形之间的几何关系来找，然后通过力和变形的关系转成力的方程