材料力学 附录 截面的几何性质

一、静矩 形心

1.静矩

\[\left\{ \begin{aligned} S_y = \int_A z \operatorname{d}\! A \\ S_z = \int_A y \operatorname{d}\! A \end{aligned} \right.\]

2.形心

\[\left\{ \begin{aligned} \overline{y}=\frac{S_z}{A} \\ \overline{z}=\frac{S_y}{A} \end{aligned} \right.\]

3.形心轴

若截面对某一坐标轴的静矩为零，则该坐标轴必通过截面的形心，即为形心轴

4.组合图形的形心计算

\[\left\{ \begin{aligned} y_c = \frac{\sum A_i y_{ci}}{A} \\[1em] z_c = \frac{\sum A_i z_{ci}}{A} \end{aligned} \right.\]

二、惯性矩 极惯性矩 惯性积 惯性半径

1. 惯性矩

\[\left\{ \begin{aligned} I_y=\int_A z^2 \operatorname{d} \! A \\ I_z=\int_A y^2 \operatorname{d} \! A \end{aligned} \right.\]

2. 极惯性矩

\[I_p = \int_A \rho^2 \operatorname{d} \! A = \int_A (y^2 + z^2) \operatorname{d} \! A = I_z + I_y\]

对于空心圆截面，$I_y=I_z=\frac{I_p}{2}=\frac{\pi D^4}{64} (1-\alpha^4)$

3. 惯性积

\[I_{yz} = \int_A yz \operatorname{d} \! A\]

4.惯性半径

\[\left\{ \begin{aligned} i_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}} \\ i_z=\sqrt{\frac{I_z}{A}} \end{aligned} \right.\]

三、平行移轴公式

\[\left\{ \begin{aligned} I_y&=I_{y_C}+\overline{z}^2 A \\ I_z&=I_{z_C}+\overline{y}^2 A \\ I_{yz}&=I_{y_C z_C}+\overline{yz} A \end{aligned} \right.\]

四、转轴公式

\[\left\{ \begin{aligned} I_{z1} &= \frac{I_z+I_y}{2} + \frac{I_z-I_y}{2}\cos 2\alpha - I_{zy}\sin 2\alpha \\[1em] I_{y1} &= \frac{I_z+I_y}{2} - \frac{I_z-I_y}{2}\cos 2\alpha + I_{zy}\sin 2\alpha \\[1em] I_{z1y1} &= \frac{I_z-I_y}{2}\sin 2\alpha + I_{zy}\cos 2\alpha \end{aligned} \right.\]

五、主轴 主惯性矩 形心主轴 形心主惯性矩

主轴： 惯性矩有极值、惯性积为零的轴

主惯性矩： 对主轴的惯性矩

形心主轴 通过形心的主轴

形心主惯性矩： 对形心主轴的惯性矩