材料力学 第4章 应力-应变关系

4-1 材料的力学性能

4.1.1 低碳钢的拉伸试验

第一阶段——弹性变形阶段（ob段）

弹性极限

\[\sigma_e=\frac{F_e}{A}\]

比例极限

\[\sigma_p=\frac{F_p}{A}\]

第二阶段——屈服（流动）阶段（bc段）

屈服点

\[\sigma_s=\frac{F_s}{A}\]

第三阶段——强化阶段（ce段）

强度极限

\[\sigma_b=\frac{F_b}{A}\]

第四阶段——颈缩破坏阶段

卸载定律

在强化阶段卸载时，应力与应变呈线性关系

应用： 冷作硬化使材料的比例极限提高，塑形变形减小

4.1.2 低碳钢的压缩试验

4.1.3 铸铁的拉伸试验

4.1.4 铸铁的压缩试验

铸铁受压缩发生断裂时的断裂面与轴线夹角大约为$45^\circ$，表明铸铁受压断裂是最大切应力导致的

4-2 胡克定律

4.2.1 简单拉压胡克定律

\[\sigma_x=E\varepsilon_x\] \[\nu=-\frac{\varepsilon_y}{\varepsilon_x}\]

其中$\nu$称为泊松比，是材料常数

4.2.2 简单剪切胡克定律

\[\tau_{xy}=G\gamma_{xy}\]

其中$G$称为材料的切变模量

4.2.3 广义拉压胡克定律

\[\varepsilon_x = \frac{1}{E} \left[ \sigma_x-\nu\left(\sigma_y+\sigma_z\right) \right]\]

主应变与主应力次序的对应关系？

\[\sigma_x>\sigma_y>\sigma_z \quad\Longleftrightarrow\quad \varepsilon_x>\varepsilon_y>\varepsilon_z\]

4.2.4 广义剪切胡克定律

\[\gamma_{xy}=\frac{\tau{xy}}{G}\]

4.2.5 体积胡克定律

\[\theta = \varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3 = \frac{1-2\nu}{E} \left( \sigma_1+\sigma_2+\sigma_3 \right) = \frac{3(1-2\nu)}{E} \cdot \frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3} = \frac{\sigma_m}{K}\]

其中，$K=\frac{E}{3(1-2\nu)}$为体积模量，$\sigma_m=\frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3}=\frac{\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z}{3}$为平均正应力

体积应变与形状变形的关系？ 体积应变有单元体各面上平均应力引起，形状变形由应力偏移量引起

4-3 应变能

4.3.1 简单应力状态下的应变能

单位体积中的应变能称为应变比能或应变能密度

纯拉压应变能密度

\[e=\frac{1}{2}\sigma_x\varepsilon_x\]

纯剪切应变能密度

\[e=\frac{1}{2}\tau_{xy}\gamma_{xy}\]

4.3.2 空间应力状态下的应变能

总能量=体积改变比能+形状改变比能$\qquad e=e_v+e_f$

总比能

在三向主应力作用下，应变能密度为

\[e = \frac{1}{2}\left(\sigma_1\varepsilon_1+\sigma_2\varepsilon_2+\sigma_3\varepsilon_3\right) = \frac{1}{2E} \left[ \sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2 - 2\nu \left( \sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1 \right) \right]\]

因为是三向主应力状态所以不需要考虑切应力

体积改变比能

\[e_v = 3\left( \frac{1}{2}\sigma_m\varepsilon_m \right) = \frac{\sigma_m^2}{2K} = \frac{3(1-2\nu)}{2E} \left( \frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3} \right)^2 = \frac{1-2\nu}{6E} \left( \sigma_1+\sigma_2+\sigma_3 \right)^2\]

形状改变比能

\[e_f=e-e_v = \frac{1+\nu}{6E} \left[ (2\tau_{12})^2 + (2\tau_{23})^2 + (2\tau_{31})^2 \right]\]

4-4 各向同性材料弹性常数之间的关系

\[G=\frac{E}{2(1+\nu)}\]