材料力学 第10章 超静定结构
材料力学第10章笔记
超静定结构
一、超静定结构的概念
超静定结构是指仅凭静力平衡方程，不能求出全部支座反力或全部杆件内力的结构。
对于平面结构，静力平衡方程通常只有三个：
\[\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0\]如果未知约束反力或未知内力的个数多于可用的平衡方程数，则该结构为超静定结构。
超静定结构的求解不能只依靠平衡条件，还必须结合结构的变形协调条件。
二、超静定结构的分类
1. 外力超静定
外力超静定是指结构的支座反力不能完全由静力平衡方程求出。
也就是说，多余约束来自结构的外部支座。
例如，多支座梁、固定端梁等结构中，支座反力个数可能超过平衡方程数。
2. 内力超静定
内力超静定是指结构的支座反力可以由平衡方程求出，但结构内部杆件的内力不能完全由平衡方程求出。
也就是说，多余约束来自结构内部。
常见于多余杆件桁架、闭合框架等结构。
3. 外力、内力同时超静定
有些结构既存在多余外部约束，又存在多余内部约束，这类结构称为外力、内力同时超静定结构。
三、超静定次数
超静定次数表示结构中多余约束的个数。
对于一次超静定结构，需要建立一个补充方程；对于二次超静定结构，需要建立两个补充方程；以此类推。
四、超静定结构的基本分析方法
超静定结构的常用分析方法有三类：
1. 力法
力法是以未知力作为基本未知量来建立求解方程的方法。
在材料力学中，本章主要使用力法分析超静定结构。
2. 位移法
位移法是以未知位移作为基本未知量来建立方程的方法。
该方法在结构力学中更常用。
3. 混合法
混合法是以部分未知力和部分未知位移作为基本未知量来建立方程的方法。
五、力法的基本思想
力法的核心思想是：
将超静定结构中的多余约束去掉，使其变为静定结构；然后用未知多余约束力代替被去掉的约束；最后根据原结构在该约束处的变形协调条件建立补充方程。
基本步骤如下：
- 判断超静定次数；
- 选取多余约束力；
- 去掉多余约束，得到静定基本结构；
- 在基本结构上施加原载荷和多余未知力；
- 根据变形协调条件建立力法方程；
- 用莫尔积分或图乘法求位移系数；
- 解方程求多余约束力；
- 回到原结构，求支座反力、内力、应力和位移。
六、一次超静定结构的力法方程
对于一次超静定结构，设多余约束力为 $X_1$。
去掉多余约束后得到静定基本结构，在基本结构上分别施加原载荷 $F$ 和多余约束力 $X_1$。
原结构中被去掉约束处的位移应满足约束条件，因此有：
\[\Delta_1=0\]根据叠加原理：
\[\Delta_1=\Delta_{1X_1}+\Delta_{1F}=0\]其中：
- $\Delta_{1X_1}$ 表示多余约束力 $X_1$ 单独作用时，在约束方向上引起的位移；
- $\Delta_{1F}$ 表示原载荷单独作用时，在约束方向上引起的位移。
由于结构在线弹性范围内，有：
\[\Delta_{1X_1}=\delta_{11}X_1\]所以一次超静定结构的力法方程为：
\[\delta_{11}X_1+\Delta_{1F}=0\]由此可得：
\[X_1=-\frac{\Delta_{1F}}{\delta_{11}}\]七、力法方程中各符号的含义
在公式
\[\delta_{11}X_1+\Delta_{1F}=0\]中：
- $X_1$：多余未知约束力；
- $\delta_{11}$：单位力 $X_1=1$ 在自身方向引起的位移，称为柔度系数；
- $\Delta_{1F}$：原载荷单独作用时，在 $X_1$ 方向引起的位移；
- $\Delta_1$：原结构中该约束方向上的实际位移。
由于原结构在多余约束处不允许发生相应位移，所以：
\[\Delta_1=0\]八、用莫尔积分求位移系数
力法方程中的 $\delta_{11}$ 和 $\Delta_{1F}$ 本质上都是位移，可以用莫尔积分求解。
1. 求 $\Delta_{1F}$
在基本结构上，先施加原载荷，得到弯矩 $M_F(x)$；再在 $X_1$ 的方向施加单位力，得到单位弯矩 $\overline{M}_1(x)$。
则：
\[\Delta_{1F} =========== \int \frac{M_F(x)\overline{M}_1(x)}{EI} ,dx\]2. 求 $\delta_{11}$
$\delta_{11}$ 表示单位力在自身方向产生的位移，因此是单位力弯矩图自乘：
\[\delta_{11} =========== \int \frac{\overline{M}_1^2(x)}{EI} ,dx\]这也可以理解为“单位力自乘”。
九、力法解题步骤总结
力法解题可以概括为以下步骤：
1. 选取基本结构
去掉多余约束，使原结构变为静定结构。
2. 设置多余未知力
用未知力 $X_1,X_2,\cdots$ 代替被去掉的多余约束。
3. 写变形协调条件
根据原结构的约束条件，确定对应位移或转角为零。
例如：
\[\Delta_1=0\]4. 建立力法方程
根据叠加原理写出：
\[\delta_{11}X_1+\Delta_{1F}=0\]或多次超静定方程组。
5. 求位移系数和自由项
使用莫尔积分或图乘法求：
\[\delta_{ij}\]和
\[\Delta_{iF}\]6. 解方程求多余未知力
求出 $X_1,X_2,\cdots$ 后，再根据静力平衡方程求其余反力和内力。
十、对称结构与对称载荷
如果结构关于某一轴对称，且载荷也关于该轴对称，则结构的变形和内力也关于该轴对称。
对称结构受对称载荷时，常有以下结论：
- 对称面两侧变形相同；
- 对称面两侧内力对称；
- 对称截面上的反对称内力为零；
- 常见情况下，对称截面上的剪力为零。
因此，可利用对称性减少未知量，简化力法方程。
十一、对称结构与反对称载荷
如果结构关于某一轴对称，但载荷关于该轴反对称，则结构的变形和内力也具有反对称性。
反对称载荷的特点是：
- 两侧载荷大小相等；
- 作用点关于对称轴对称；
- 方向相反。
对称结构受反对称载荷时，常有以下结论：
- 对称截面上的对称内力为零；
- 对称截面上的轴力通常为零；
- 对称截面上的弯矩通常为零；
- 反对称内力可能不为零，例如剪力。
十二、对称性简化的意义
利用对称性和反对称性可以：
- 减少多余未知力个数；
- 简化力法方程；
- 降低超静定次数；
- 简化弯矩图和位移计算；
- 有时可以只取结构的一半进行分析。
例如，对称结构在对称载荷作用下，可以只分析一半结构，并在对称面处施加相应的约束条件。
所以本章的核心思想可以总结为：
平衡方程不够时，用变形协调条件补充；变形协调中的位移，用莫尔积分或图乘法求。