材料力学 第8章 组合变形

8-1 斜弯曲

8.1.1 横截面内力与斜弯曲变形

斜弯曲: 当外力作用面不通过主惯性平面时，梁的轴线不再位于外力的作用面内

主惯性平面是指：通过杆件轴线，并且包含截面某一条主惯性轴的纵向平面

\[M_z(x)=F_y(l-x)=F\sin\beta\,(l-x)\] \[M_y(x)=F_z(l-x)=F\cos\beta\,(l-x)\]

利用叠加原理可知合位移$\delta$与主轴$z$的夹角$\varphi$满足

\[\tan \varphi = \frac{I_y}{I_z}\tan\beta\]

$\varphi \neq \beta$时，绕曲线与载荷不共面

8.1.2 横截面上应力计算

\[\sigma_x =\sigma_x'+\sigma_x'' =-\frac{M_z}{I_z}y -\frac{M_y}{I_y}z\]

正应力为零的位置即为中性轴所在位置，所以中性轴方程为

\[\frac{M_z}{I_z}y+\frac{M_y}{I_y}z=0\]

中性轴与主轴的夹角$\alpha$满足

\[\tan\alpha =\frac{y}{z} =-\frac{M_y}{M_z}\cdot\frac{I_z}{I_y} =-\frac{I_z}{I_y}\cot\beta\]

进而可得

\[\tan\alpha\cdot\tan\varphi=-1\]

所以中性轴和挠曲方向正交

8.1.3 横截面上最大正应力

最大应力依然出现在距离中性轴最远的位置

\[\sigma_{xe} =\sigma_{x_{tmax}} =\frac{M_y}{W_y}+\frac{M_z}{W_z}\] \[\sigma_{xf} =\sigma_{x_{cmax}} =-\frac{M_y}{W_y}-\frac{M_z}{W_z}\]

这里的$W$和纯弯曲时候的是一样的

8-2 偏心拉伸与压缩

8.2.1 横截面上的内力

内力分量为

\[\left\{ \begin{aligned} F_N &= F' = F,\\ M_y &= m_y = F z_F,\\ M_z &= m_z = F y_F. \end{aligned} \right.\]

由此可见，偏心拉压实际上是拉压与弯曲的组合变形

8.2.2 横截面上的应力

\[\sigma_x =\sigma_x'+\sigma_x''+\sigma_x''' =\frac{F}{A} \left( 1+\frac{y_F}{i_z^2}y +\frac{z_F}{i_y^2}z \right)\]

所以中性轴方程为

\[1+\frac{y_F}{i_z^2}y +\frac{z_F}{i_y^2}z=0\]

8.2.3 横截面上的最大应力

\[\sigma_{x_e} =\sigma_{x,\mathrm{t},\max} =\frac{F}{A} +\frac{M_y}{W_y} +\frac{M_z}{W_z}\] \[\sigma_{x_f} =\sigma_{x,\mathrm{c},\max} =\frac{F}{A} -\frac{M_y}{W_y} -\frac{M_z}{W_z}\]

8.2.4 截面核心

控制偏心外力作用点的位置来实现中性轴不在截面之内

8-3 弯曲和扭转

危险点为上下两点

扭转切应力

\[\tau_{xz}=\frac{T}{W_t}\]

弯曲正应力

\[\sigma_x=\frac{M_z}{W_z}\]

危险点的主应力为

\[\left\{ \begin{aligned} \sigma_1 &=\sigma' =\frac{\sigma_x}{2} +\sqrt{ \left( \frac{\sigma_x}{2} \right)^2 +\tau_{xz}^2 },\\ \sigma_2&=0,\\ \sigma_3 &=\sigma'' =\frac{\sigma_x}{2} -\sqrt{ \left( \frac{\sigma_x}{2} \right)^2 +\tau_{xz}^2 }. \end{aligned} \right.\]