材料力学 第16章 压杆稳定

16-1 细长压杆临界压力的欧拉公式

16.1.1 两端铰支细长压杆的临界力

\[\frac{\mathrm{d}^2v}{\mathrm{d}x^2} = \frac{M(x)}{EI} = -\frac{F_{\mathrm{cr}}v}{EI}\]

令$K^2=\frac{F_{\mathrm{cr}}}{EI}$可得

\[\frac{\mathrm{d}^2v}{\mathrm{d}x^2}+K^2v=0\]

解得

\[v=C_1\sin Kx+C_2\cos Kx\]

代入边界条件（压杆两端挠度为0）

\[K=\frac{n\pi}{l} \qquad (n=0,1,2,\cdots)\]

从而得到

\[F_{\mathrm{cr}}=\frac{n^2\pi^2EI}{l^2}\]

$n=1$时的最小轴压即为临界压力

\[F_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{l^2}\]

16.1.2 不同杆端约束细长压杆的临界力

一般情况下，压杆的临界力公式可以统一写成欧拉公式的一般形式

\[F_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2 EI}{(\mu l)^2}\]

其中$\mu$为长度系数，和约束类型有关。$\mu l$称为压杆的相当长度

16.1.2 临界应力公式

\[\sigma_{\mathrm{cr}} = \frac{F_{\mathrm{cr}}}{A} = \frac{\pi^2 EI}{(\mu l)^2A} = \frac{\pi^2 i^2 E}{(\mu l)^2} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}\]

其中$\lambda=\frac{\mu l}{i}$称为压杆的柔度

16.1.3 欧拉公式的适用范围

由于欧拉公式的推导建立在材料服从胡克定律的基础上，所以欧拉公式只有在临界压力不超过比例极限$\sigma_p$时适用

\[\lambda_p=\pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_p}}\]

$\lambda \geq \lambda_p$ 的压杆定义为细长杆

16-2 中长杆的直线公式

16.2.1 直线公式

对于超过比例极限的非细长压杆

\[\sigma_{\mathrm{cr}}=a-b\lambda\]

定义屈服点对应的柔度值为$\lambda_s$

\[\lambda_s=\frac{a-\sigma_s}{b}\]

当$\lambda_s\leq\lambda\leq\lambda_p$时，直线公式成立

16.2.2 临界应力与柔度之间的关系

16-3 压杆稳定性的计算

16.3.1 安全系数法

\[F \leq \frac{F_{\mathrm{cr}}}{n_{\mathrm{st}}} = [F]_{\mathrm{st}}\] \[n_{\mathrm{st}}=\frac{F_{\mathrm{cr}}}{F}\geq [n_{\mathrm{st}}]\] \[\sigma \leq \frac{\sigma_{\mathrm{cr}}}{n_{\mathrm{st}}} = [\sigma]_{\mathrm{st}}\]

16.3.2 折减系数法

\[[\sigma]_{\mathrm{st}}=\varphi(\lambda)[\sigma]\]