材料力学 第12章 杆件的强度和刚度计算
材料力学12章笔记
12-1 构件的失效和计算准则
12.1.1 构件的失效
构件失效： 载荷过大，超出构件承载能力，使构件不能正常工作的现象 常见失效形式有
- 强度失效： 构件发生断裂或屈服
- 刚度失效： 构件的弹性变形超过允许范围
- 疲劳失效： 构件在交变应力作用下发生破坏
- 稳定失效： 构件失去原有平衡形态
本章主要研究杆件的强度计算和刚度计算
12.1.2 强度计算的基本思路
进行强度计算时，一般按以下步骤进行
- 对杆件进行内力分析，找出危险截面
- 对危险截面进行应力分析，找出危险点
- 根据材料性质和应力状态选择合适的强度理论
- 建立强度条件并进行校核、设计或求许可载荷
杆件上常见的内力有
- 轴力 $F_N$
- 剪力 $F_S$
- 弯矩 $M$
- 扭矩 $T$
12.1.3 刚度计算的基本思路
刚度计算主要是限制构件的变形，使其不影响正常工作
刚度条件一般写为
\[\Delta \leq [\Delta]\]其中，$\Delta$表示位移、挠度或转角，$[\Delta]$表示许用位移、许用挠度或许用转角
12-2 杆件的强度条件和三类问题
12.2.1 杆件的强度条件
杆件的强度条件统一写为
\[\sigma_{ri} \leq [\sigma] \qquad i=1,2,3,4\]其中，$\sigma_{ri}$表示按第$i$强度理论得到的相当应力，$[\sigma]$表示材料的许用应力
12.2.2 基本变形的强度条件
轴向拉压杆的强度条件
\[\sigma_{\max} = \frac{F_{N,\max}}{A} \leq [\sigma]\]圆轴扭转的强度条件
\[\tau_{\max} = \frac{T_{\max}}{W_t} \leq [\tau]\]梁弯曲时的强度条件
\[\sigma_{\max} = \frac{M_{\max}}{W_z} \leq [\sigma]\]12.2.3 三类基本问题
根据强度条件和刚度条件，通常可以解决以下三类问题
- 强度或刚度校核： 检查已有构件是否满足要求
- 设计截面： 根据条件确定构件尺寸
- 确定许可载荷： 求构件所能承受的最大载荷
12-3 提高构件强度和刚度的措施
12.3.1 合理安排载荷和支座，减小最大内力
由强度条件可知，在许用应力不变时，减小最大内力就能提高构件的承载能力
调整载荷位置或分布
对于简支梁，若跨中受集中力$F$，则最大弯矩为
\[M_{\max} = \frac{Fl}{4}\]若将载荷合理分散，则最大弯矩可以减小
\[M_{\max} = \frac{Fl}{6}\]调整支座位置
对于均布载荷$q$作用下的简支梁，最大弯矩为
\[M_{\max} = \frac{ql^2}{8}\]若采用带悬臂的支承方式，则可减小跨中最大弯矩，使材料得到更充分利用
12.3.2 采用合理截面
弯曲时
\[\sigma_{\max} = \frac{M_{\max}}{W_z} \leq [\sigma]\]当弯矩一定时，增大抗弯截面系数$W_z$就可以减小最大正应力
对于矩形截面
\[W_z = \frac{bh^2}{6}\]若将截面旋转$90^\circ$，则有
\[W_z = \frac{hb^2}{6}\]当$h>b$时
\[\frac{bh^2}{6} > \frac{hb^2}{6}\]所以矩形截面梁通常应将较大的尺寸沿弯曲正应力变化方向布置
根据材料拉压性能选择截面
抗拉、抗压能力近似相等的材料： 可采用关于中性轴对称的截面，如矩形截面、工字形截面、箱形截面
抗拉、抗压能力不相等的材料： 可采用非对称截面，使中性轴偏向受拉一侧，以便更充分利用材料
12.3.3 等强度设计
变截面梁： 沿轴线方向采用不同截面尺寸，使弯矩较大处具有较大的截面
等强度梁： 各横截面上的最大正应力均相等，并等于许用应力
等强度条件为
\[\sigma_{\max} = \frac{M_z(x)}{W_z(x)} = [\sigma]\]所以
\[W_z(x) = \frac{M_z(x)}{[\sigma]}\]这说明截面系数应随着弯矩的变化而变化
12.3.3.1 等高度矩形截面等强度梁
设矩形截面的高度$h$不变，宽度为$b(x)$，则
\[W_z(x) = \frac{b(x)h^2}{6}\]若简支梁半跨内弯矩为
\[M_z(x) = \frac{Fx}{2}\]代入等强度条件得
\[\frac{Fx/2}{b(x)h^2/6} = [\sigma]\]整理得
\[b(x) = \frac{3F}{h^2[\sigma]}x\]所以宽度$b(x)$是$x$的线性函数
按弯曲强度设计时，梁端附近会出现$b(x)\to0$，因此还必须满足切应力强度条件
矩形截面的最大切应力为
\[\tau_{\max} = \frac{3}{2}\frac{F_{S,\max}}{A}\]若$F_{S,\max}=\frac{F}{2}$，则
\[\tau_{\max} = \frac{3}{2} \frac{F/2}{b_{\min}h} = [\tau]\]从而得到最小宽度
\[b_{\min} = \frac{3F}{4h[\tau]}\]12.3.3.2 等宽度矩形截面等强度梁
设矩形截面的宽度$b$不变，高度为$h(x)$，则
\[W_z(x) = \frac{bh^2(x)}{6}\]由等强度条件可得
\[h(x) = \sqrt{\frac{3Fx}{b[\sigma]}}\]所以高度$h(x)$随$x$按平方根规律变化
考虑切应力时，最小高度应满足
\[h_{\min} = \frac{3F}{4b[\tau]}\]这种梁的外形近似鱼腹，因此也称为鱼腹梁
对于圆截面等强度梁，也可用相同方法求直径随轴线位置的变化规律。工程中为了便于加工，常将其近似设计为阶梯轴
12.3.4 增设约束
增加约束可以减小构件的有效跨度和最大变形，同时也能减小最大弯矩
例如车削细长轴时增设尾座顶针或中间架，都可以提高构件的刚度和加工精度
12-4 弯扭组合变形的强度计算
12.4.1 危险点处的应力
圆轴同时承受弯矩和扭矩时，危险点处通常同时存在弯曲正应力和扭转切应力
弯曲正应力为
\[\sigma = \frac{M}{W_z}\]扭转切应力为
\[\tau = \frac{T}{W_t}\]若同时存在两个互相垂直的弯矩$M_y$和$M_z$，则应先求合弯矩
\[M = \sqrt{M_y^2 + M_z^2}\]12.4.2 按第三强度理论计算
危险点处主应力为
\[\left\{ \begin{aligned} \sigma_1 &= \frac{\sigma}{2} + \sqrt{ \left( \frac{\sigma}{2} \right)^2 + \tau^2 } \\ \sigma_2 &= 0 \\ \sigma_3 &= \frac{\sigma}{2} - \sqrt{ \left( \frac{\sigma}{2} \right)^2 + \tau^2 } \end{aligned} \right.\]由第三强度理论
\[\sigma_{r3} = \sigma_1 - \sigma_3\]可得相当应力
\[\sigma_{r3} = \sqrt{\sigma^2 + 4\tau^2} \leq [\sigma]\]12.4.3 按第四强度理论计算
由第四强度理论
\[\sigma_{r4} = \sqrt{ \frac{1}{2} \left[ (\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2 \right] }\]对于弯曲正应力$\sigma$和扭转切应力$\tau$共同作用的情况，可化为
\[\sigma_{r4} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2} \leq [\sigma]\]12.4.4 圆截面杆弯扭组合的内力形式
对于实心圆截面
\[W_t = \frac{\pi d^3}{16}\] \[W_z = \frac{\pi d^3}{32}\]所以
\[W_t = 2W_z\]将
\[\sigma = \frac{M}{W_z} \qquad \tau = \frac{T}{W_t} = \frac{T}{2W_z}\]代入第三强度理论，得
\[\sigma_{r3} = \frac{1}{W_z} \sqrt{M^2 + T^2} \leq [\sigma]\]代入第四强度理论，得
\[\sigma_{r4} = \frac{1}{W_z} \sqrt{M^2 + \frac{3}{4}T^2} \leq [\sigma]\]也可写为
\[\sigma_{r4} = \frac{1}{W_z} \sqrt{M^2 + 0.75T^2} \leq [\sigma]\]上述内力形式是利用实心圆截面$W_t=2W_z$推导得到的，主要适用于圆轴的弯扭组合变形